Question

16．已知函數(shù)f（x）=x²-（a+3）x+2+2a（a∈R）．
（1）若對(duì)于x∈R，f（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）當(dāng)a∈R時(shí)，解關(guān)于x的不等式f（x）＜a．

Answer 1

分析 （1）由題意可得判別式（a+3）²-4（2+2a）≤0，解不等式即可得到a=1；
（2）求得方程x²-（a+3）x+2+a=0的兩根為1，2+a，討論a＞-1，a=-1，a＜-1，由二次不等式的解法即可得到解集．

解答 解：（1）對(duì)于x∈R，f（x）≥0恒成立，
即有判別式（a+3）²-4（2+2a）≤0，
即有（a-1）²≤0，
由（a-1）²≥0，可得a=1；
（2）不等式f（x）＜a．即為x²-（a+3）x+2+a＜0，
由于x²-（a+3）x+2+a=0的兩根為1，2+a，
當(dāng)a＞-1時(shí)，2+a＞1，不等式的解集為（1，2+a）；
當(dāng)a=-1時(shí)，2+a=1，不等式的解集為∅；
當(dāng)a＜-1時(shí)，2+a＜1，不等式的解集為（2+a，1）．
綜上可得，當(dāng)a＞-1時(shí)，不等式的解集為（1，2+a）；
當(dāng)a=-1時(shí)，不等式的解集為∅；
當(dāng)a＜-1時(shí)，不等式的解集為（2+a，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次不等式的解法，同時(shí)考查不等式恒成立問(wèn)題，注意運(yùn)用判別式小于等于0，運(yùn)用分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．