Question

8．己知向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{2}$，$-\sqrt{2}$），$\overrightarrow$=（cosx，sinx），x∈（0，$\frac{π}{2}$）．
（I）若向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$平行，求tanx的值；
（Ⅱ）若向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為$\frac{π}{3}$，求x的值．

Answer 1

分析 （I）向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$平行，可得$\sqrt{2}$sinx+$\sqrt{2}$cosx=0，化簡即可得出；
（II）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$\sqrt{2}cosx$-$\sqrt{2}$sinx，$|\overrightarrow{a}|$=2，$|\overrightarrow|$=1．可得$cos\frac{π}{3}$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$=$\frac{\sqrt{2}cosx-\sqrt{2}sinx}{2}$=$\frac{1}{2}$，化簡即可得出．

解答 解：（I）∵向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$平行，∴$\sqrt{2}$sinx+$\sqrt{2}$cosx=0，化為tanx=-1；
（II）∵$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$\sqrt{2}cosx$-$\sqrt{2}$sinx，$|\overrightarrow{a}|$=2，$|\overrightarrow|$=1．
∴$cos\frac{π}{3}$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$=$\frac{\sqrt{2}cosx-\sqrt{2}sinx}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\sqrt{2}$cosx-$\sqrt{2}$sinx=1，∴$sin（\frac{π}{4}-x）$=$\frac{1}{2}$，
∵x∈（0，$\frac{π}{2}$），∴$（\frac{π}{4}-x）$∈$（-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}）$．
∴$\frac{π}{4}$-x=$\frac{π}{6}$，
解得x=$\frac{π}{12}$．

點評 本題考查了向量共線定理、向量的夾角公式、三角函數(shù)求值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．