Question

11．如圖，已知圓M：x²+（y-4）²=4，Q是x軸上的動點，QA、QB分別切圓M于A，B兩點．
（1）若點Q的坐標為（2，0），求切線QA、QB的方程；
（2）求四邊形QAMB的面積的最小值及此時點Q的坐標；
（3）若AB=$\sqrt{14}$，且Q在x軸正半軸上，求四邊形QAMB外接圓的方程．

Answer 1

分析 （1）設出切線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，即可求切線QA、QB的方程；
（2）求出四邊形QAMB的面積的表達式，利用|MQ|＞|MO|求出面積的最小值；
（3）設AB與MQ交于點P，通過MP⊥AB，MB⊥BQ，求出|MP|，求出|MQ|，確定Q的坐標，即可求四邊形QAMB外接圓的方程．

解答 解：（1）設過點Q的圓M的切線方程為x=my+2，------（1分）
則圓心M到切線的距離為2，∴$\frac{|4m+2|}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$=2，
∴m=-$\frac{4}{3}$或0，------（4分）
∴切線QA、QB的方程分別為3x+4y-6=0和x=2------（5分）
（2）∵MA⊥AQ，∴S_MAQB=|MA|•|QA|=$\sqrt{|MQ{|}^{2}-1}$≥$\sqrt{|MO{|}^{2}-1}$=$\sqrt{15}$，此時Q（0，0）；-----（10分）
（3）設AB與MQ交于點P，則MP⊥AB，MB⊥BQ，|MP|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
在Rt△MBQ中，|MB|²=|MP|•|MQ|，解得|MQ|=4$\sqrt{2}$
設Q（x，0），則x²+16=32，Q在x軸正半軸上，∴x=4
∴四邊形QAMB外接圓的方程是（x-2）²+（y-2）²=8．----（14分）

點評 本題考查圓的切線方程的求法，四邊形面積的求法，兩點間的距離公式的應用，考查轉化思想與計算能力．