Question

19．己知0＜a₁＜1，數(shù)列{a_n}滿足：a_n+1=a_n-1+$\frac{n}{n{+}_{{a}_{n}}}$，n∈N⁺，則滿足a_i+a_j（i＜j，i，j∈N⁺）為整數(shù)的正整數(shù)組對（i，j）（　　）

• A． 至多一對
• B． 至多2對
• C． 有無窮對
• D． 不存在

Answer 1

分析 a_n+1=a_n-1+$\frac{n}{n{+}_{{a}_{n}}}$=${a}_{n}（1-\frac{1}{{a}_{n}+n}）$，n∈N⁺．由0＜a₁＜1，可得a_n＞0．又a_n+1-a_n=-$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+1}$＜0，可得數(shù)列{a_n}單調(diào)遞減，而a₂=${a}_{1}•\frac{{a}_{1}}{{a}_{1}+1}$$＜\frac{1}{2}{a}_{1}$$＜\frac{1}{2}$，因此$0＜{a}_{n}＜\frac{1}{2}$對n≥2時恒成立．即可得出．

解答 解：a_n+1=a_n-1+$\frac{n}{n{+}_{{a}_{n}}}$=${a}_{n}（1-\frac{1}{{a}_{n}+n}）$，n∈N⁺，
∵0＜a₁＜1，∴a_n＞0，都為正．
又a_n+1-a_n=-$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+1}$＜0，∴數(shù)列{a_n}單調(diào)遞減，
而${a}_{2}={a}_{1}（1-\frac{1}{{a}_{1}+1}）$=${a}_{1}•\frac{{a}_{1}}{{a}_{1}+1}$$＜\frac{1}{2}{a}_{1}$$＜\frac{1}{2}$，因此$0＜{a}_{n}＜\frac{1}{2}$對n≥2時恒成立．
∴當i，j≥2時，不存在a_i+a_j（i＜j，i，j∈N⁺）為整數(shù)．
只有可能a₁+a_j=1．
故選：A．

點評 本題考查了遞推關(guān)系、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．