Question

6．設(shè)有關(guān)于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0．
（Ⅰ）若a是從1，2，3三個數(shù)中任取的一個數(shù)，b是從1，2兩個數(shù)中任取的一個數(shù)，求上述方程在（-4，0）內(nèi)有兩個不等實根的概率．
（Ⅱ）若a是從區(qū)間[1，3]任取的一個數(shù)，b是從區(qū)間[1，2]任取的一個數(shù)，求上述方程有實根的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）本題是一個古典概型，由分步計數(shù)原理知基本事件共6個，當(dāng)a＞0，b＞0時，方程x²+2ax+b²=0有實根的充要條件為a≥b，滿足條件的事件中包含1個基本事件，由古典概型公式得到結(jié)果．
（Ⅱ）本題是一個幾何概型，試驗的全部約束所構(gòu)成的區(qū)域為{（a，b）|1≤a≤3，1≤b≤2}．構(gòu)成事件A的區(qū)域為{（a，b）|1≤a≤3，1≤b≤2，a≥b}．根據(jù)幾何概型公式得到結(jié)果．

解答 解：（Ⅰ）基本事件共3×2=6個：（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2）
當(dāng)a＞0，b＞0時，方程x²+2ax+b²=0有實根的充要條件為a≥b，方程在（-4，0）內(nèi)有兩個不等實根的基本事件有（2，1）
∴所求概率為$\frac{1}{6}$；
（Ⅱ）設(shè)事件A為“方程a²+2ax+b²=0有實根”．
當(dāng)a＞0，b＞0時，方程x²+2ax+b²=0有實根的充要條件為a≥b．
試驗的全部約束所構(gòu)成的區(qū)域為{（a，b）|1≤a≤3，1≤b≤2}．
構(gòu)成事件A的區(qū)域為{（a，b）|1≤a≤3，1≤b≤2，a≥b}．
所以所求的概率為=$\frac{2×2-\frac{1}{2}×（1+2）×1}{2×2}$=$\frac{5}{8}$．

點評 本題考查幾何概型和古典概型，放在一起的目的是把兩種概型加以比較，幾何概型和古典概型是高中必修中學(xué)習(xí)的高考時常以選擇和填空出現(xiàn)，有時文科會考這種類型的解答題．