Question

5．已知∠A、∠B、∠C是三角形ABC三個內角，那么$\frac{1}{2}$[cos（A+B）-cos（A-B）]sin²C的取值范圍為（0，$\frac{16}{27}$]．

Answer 1

分析 由三角函數(shù)恒等變換的應用化簡原式可得$\frac{1}{2}$cos（A-B）sin²C+$\frac{1}{2}$cosCsin²C，利用不等式abc≤（$\frac{a+b+c}{3}$）³當且僅當a=b=c時取“=”，即可求得最大值．

解答 解：∵$\frac{1}{2}$[cos（A-B）-cos（A+B）]sin²C，
=$\frac{1}{2}$cos（A-B）sin²C+$\frac{1}{2}$cosCsin²C，
≤$\frac{1}{2}$sin²C+$\frac{1}{2}$cosCsin²C（當且僅當A=B時取“=”），
=$\frac{1}{2}$（1+cosC）sin²C，
=$\frac{1}{2}$（1+cosC）（1-cos²C），
=$\frac{1}{2}$（1+cosC）（1-cosC）（1+cosC），
=$\frac{1}{4}$（1+cosC）（2-2cosC）（1+cosC），
≤$\frac{1}{4}$（$\frac{1+cosC+2-2cosC+1+cosC}{3}$）³=$\frac{1}{4}$×（$\frac{4}{3}$）³=$\frac{16}{27}$．當且僅當“1+cosC=2-2cosC”，即cosC=$\frac{1}{3}$且A=B時取“=”．
又∵角A，B，C為△ABC的三個內角，
∴由和差化積公式可得：$\frac{1}{2}$[cos（A-B）-cos（A+B）]sin²C=sinAsinBsin²C＞0．
綜上，可得[cos（A-B）-cos（A+B）]sin²C的取值范圍是：（0，$\frac{16}{27}$]．
故答案為：（0，$\frac{16}{27}$]．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應用，基本不等式的應用，綜合性技巧性較強，屬于中檔題．