Question

求和：（

1

1+12+14

）+（

2

1+22+24

）+…+（

100

1+1002+1004

）=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知得

n

1+n2+n4

=

n

(n2-n+1)(n2+n+1)

=

1

2

（

1

n2-n+1

-

1

n2+n+1

），由此利用裂項(xiàng)求和法能求出（

1

1+12+14

）+（

2

1+22+24

）+…+（

100

1+1002+1004

）的值．

解答： 解：

1

1+12+14

分母是公比為1的等比數(shù)列，

2

1+22+24

分母是公比為2²的等比數(shù)列，
…

100

1+1002+1004

分母是公比為100²的等比數(shù)列，
∵1+n²+n⁴=

1-n6

1-n2

=（n²-n+1）（n²+n+1），
∴

n

1+n2+n4

=

n

(n2-n+1)(n2+n+1)

=

1

2

（

1

n2-n+1

-

1

n2+n+1

），
∴（

1

1+12+14

）+（

2

1+22+24

）+…+（

100

1+1002+1004

）
=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

7

）+（

1

7

-

1

13

）+…+（

1

9901

-

1

10101

）]
=

1

2

(1-

1

10101

)
=

5050

10101

．
故答案為：

5050

10101

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列前100項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．