Question

設(shè)函數(shù)f（x）=-x（x-a）²（x∈R），其中a∈R．
（1）當(dāng)a=1時，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（2）當(dāng)a≠0時，求函數(shù)f（x）的極大值和極小值；
（3）當(dāng)a=3時，函數(shù)圖象與直線y=m有三個交點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=1時，f（x）=-x（x-1）²=-x³+2x²-x，f′（x）=-3x²+4x-1，代入x=2，從而求切線方程；
（2）f（x）=-x（x-a）²=-x³+2ax²-a²x，f′（x）=-3x²+4ax-a²=-（3x-a）（x-a）；討論a，從而確定極值點與極值；
（3）結(jié)合函數(shù)的圖象及極值求實數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)a=1時，
f（x）=-x（x-1）²=-x³+2x²-x，
f′（x）=-3x²+4x-1，
則f（2）=-8+8-2=-2，f′（2）=-12+8-1=-5；
則曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為
y+2=-5（x-2），
即5x+y-8=0；
（2）f（x）=-x（x-a）²=-x³+2ax²-a²x，
f′（x）=-3x²+4ax-a²=-（3x-a）（x-a）；
①若a＞0，
則在x=

a

3

附近，左側(cè)f′（x）＜0，右側(cè)f′（x）＞0；
故f（x）在x=

a

3

時取得極小值f（

a

3

）=-

4

27

a3；
在x=a附近，左側(cè)f′（x）＞0，右側(cè)f′（x）＜0；
故f（x）在x=a時取得極大值f（a）=0；
②若a＜0，
則在x=

a

3

附近，左側(cè)f′（x）＞0，右側(cè)f′（x）＜0；
故f（x）在x=

a

3

時取得極大值f（

a

3

）=-

4

27

a3；
在x=a附近，左側(cè)f′（x）＜0，右側(cè)f′（x）＞0；
故f（x）在x=a時取得極小值f（a）=0；
（3）由（2）可知，
f（x）在（-∞，1）遞減，（1.3）遞增，（3，+∞）遞減．
f（x）_極小值=f（1）=-4；f（x）_極大值=f（3）=0；
故-4＜m＜0．

點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，同時考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于難題．