Question

15．已知函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-5|，g（x）=$\sqrt{1+{x}^{2}}$．
（1）求f（x）的最小值；
（2）記f（x）的最小值為m，已知實(shí)數(shù)a，b滿足a²+b²=6，求證：g（a）+g（b）≤m．

Answer 1

分析 （1）化簡(jiǎn)f（x）的解析式，得出f（x）的單調(diào)性，利用單調(diào)性求出f（x）的最小值；
（2）計(jì)算[g（a）+g（b）]²，利用基本不等式即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）f（x）=|x-1|+|x-5|=$\left\{\begin{array}{l}{-2x+6，x≤1}\\{4，1＜x＜5}\\{2x-6，x≥5}\end{array}\right.$，
∴f（x）在（-∞，1]上單調(diào)遞減，在[5，+∞）上單調(diào)遞增，
∵f（1）=4，f（5）=4，
∴f（x）的最小值為4．
（2）證明：由（1）可知m=4，
g（a）+g（b）=$\sqrt{1+{a}^{2}}$+$\sqrt{1+^{2}}$，
∴[g（a）+g（b）]²=1+a²+1+b²+2$\sqrt{（1+{a}^{2}）（1+^{2}）}$=8+2$\sqrt{（1+{a}^{2}）（1+^{2}）}$，
∵$\sqrt{（1+{a}^{2}）（1+^{2}）}$≤$\frac{1+{a}^{2}+1+^{2}}{2}$=4，
∴[g（a）+g（b）]²≤16，
∴g（a）+g（b）≤4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，分段函數(shù)的最值計(jì)算，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．