Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{ax+1（x≤0）}\\{lo{g}_{2}x（x＞0）}\end{array}\right.$，若函數(shù)y=f[f（x）]+1有4個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是（0，+∞）．

Answer 1

分析 函數(shù)y=f[f（x）]+1的零點個數(shù)，即為方程f[f（x）]=-1的解的個數(shù)，結(jié)合函數(shù)f（x）圖象，分類討論判斷，求解方程可得答案．

解答 解：函數(shù)y=f（f（x））+1的零點，
即方程f[f（x）]=-1的解個數(shù)，
（1）當a=0時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}1（x≤0）\\ lo{g}_{2}x（x＞0）\end{array}\right.$，

當x＞1時，x=$\sqrt{2}$，f（f（x））=-1成立，∴方程f[f（x）]=-1有1解
當0＜x＜1，log₂x＜0，∴方程f[f（x）]=-1無解，
當x≤0時，f（x）=1，f（f（x））=0，∴f（f（x））=-1有1解，
故a=0不符合題意，
（2）當a＞0時，

當x＞1時，x=$\sqrt{2}$，f（f（x））=-1成立，
當0＜x＜1，log₂x＜0，∴方程f[f（x）]=-1有1解，
當$\frac{1}{a}$＜x≤0時，0＜f（x）≤1，∴f（f（x））=-1有1解，
當x≤-$\frac{1}{a}$時，f（x）＜0，∴f（f（x））=-1有1解，
故f（f（x））=-1有4解，
（3）當a＜0時，

當x＞1時，x=$\sqrt{2}$，f（f（x））=-1成立，∴f（f（x））=-1有1解，
當0＜x≤1時，f（x）≤0．f（f（x））=-1，成立∴f（f（x））=-1有1解，
當x≤0時，f（x）≥1，f（f（x））=-1，成立∴f（f（x））=-1有1解，
故f（f（x））=-1有3解，
不符合題意，
綜上；a＞0
故答案為：（0，+∞）

點評 本題考查的知識點是函數(shù)零點的判定，其中將函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為方程根的個數(shù)問題，分類討論求解．