設(shè)拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點為F,準(zhǔn)線為l,A為C上一點,已知以F為圓心,F(xiàn)A為半徑的圓F與l切于B點,且△ABF的面積為2.
(Ⅰ)求p的值及圓F的方程;
(Ⅱ)過B作直線與拋物線C交于M(x1,y1),N(x2,y2)兩點,是否存在常數(shù)m,使
|FM|
|FN|
=
y1-m
m-y2
恒成立?若存在,求常數(shù)m的值;若不存在,請說明理由.
考點:直線與圓錐曲線的綜合問題
專題:圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析:(Ⅰ)設(shè)A(
2py
,y),由題意知F(0,
p
2
),|AF|=p,且
1
2
p•
2py
=2
,從而求出A(
4
p
8
p3
),由|AF|=
(
4
p
)2+(
8
p3
-
p
2
)2
=p,解得p=2,由此能求出圓F的方程為x2+(y-1)2=4.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,拋物線方程為x2=4y,B(0,-1),設(shè)過B點的直線方程為y=kx-1,(k≠0)聯(lián)立
x2=4y
y=kx-1
,得x2-4kx+4=0,由此能求出存在常數(shù)m=-1,使
|FM|
|FN|
=
y1-m
m-y2
恒成立.
解答: 解:(Ⅰ)∵拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點為F,準(zhǔn)線為l,A為C上一點,
以F為圓心,F(xiàn)A為半徑的圓F與l切于B點,且△ABF的面積為2.
∴設(shè)A(
2py
,y),由題意知F(0,
p
2
),|AF|=p,且
1
2
p•
2py
=2
,
解得A(
4
p
8
p3
),
由|AF|=
(
4
p
)2+(
8
p3
-
p
2
)2
=p,解得p=2,∴A(2,1),
圓心F(0,1),圓半徑r=2,
∴圓F的方程為x2+(y-1)2=4.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,拋物線方程為x2=4y,B(0,-1),
由題意知過B點的直線的斜率必存在,設(shè)過B點的直線方程為y=kx-1,(k≠0)
聯(lián)立
x2=4y
y=kx-1
,得x2-4kx+4=0,
∵過B作直線與拋物線C交于M(x1,y1),N(x2,y2)兩點,
∴△=16k2+16>0恒成立,x1+x2=4k,x1x2=4,
若存在常數(shù)m,使
|FM|
|FN|
=
y1-m
m-y2
恒成立,
|FM|
|FN|
=
x12+(y1-1)2 
x22+(y2-1)2
=
y1-m
m-y2
,
x12+y12-2y1+1
x22+y22-2y2+1
=
y12-2my1+m2
m2-2my2+y22

x12=4y1,x22=4y2
y12+2y1+1
y22+2y2+1
=
y12-2my1+m2
m2-2my2+y22
,
∴存在常數(shù)m=-1,使
|FM|
|FN|
=
y1-m
m-y2
恒成立.
點評:本題考查拋物線方程和圓的方程的求法,考查滿足條件的常數(shù)是否存在的判斷與求法,解題時要認(rèn)真審題,注意圓、直線方程、拋物線等知識點的綜合運用.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)y=f(x)的定義域為(0,+∞),滿足f(a•b)=f(a)+f(b),且對任意x>1,都有f(x)>0.
(1)求證:f(
1
x
)=-f(x);
(2)求證:f(
a
b
)=f(a)-f(b);
(3)求證:函數(shù)y=f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù);
(4)若f(4)=1,解不等式f(2x+1)-f(1-x)>
1
2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知實數(shù)abc滿足a+2b+c=1,a2+b2+c2=1,求證:-
2
3
≤c≤1.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知ω=z+i(i∈C),
z-2
z+2
是純虛數(shù),又|ω+1|2+|ω-1|2=16,求ω.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四棱錐S-ABCD的高為2,底面ABCD是邊長為2
2
的正方形,頂點S在底面上的射影是正方形ABCD的中心O.K是棱SC的中點.試求直線AK與平面SBC所成角的正弦值.(用空間向量解題)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某班甲、乙兩名學(xué)同參加100米達(dá)標(biāo)訓(xùn)練,在相同條件下兩人10次訓(xùn)練的成績(單位:秒)如下:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11.6 12.2 13.2 13.9 14.0 11.5 13.1 14.5 11.7 14.3
12.3 13.3 14.3 11.7 12.0 12.8 13.2 13.8 14.1 12.5
(1)從甲、乙兩人的10次訓(xùn)練成績中各隨機抽取一次,求抽取的成績中至少有一個比12.8秒差的概率.
(2)后來經(jīng)過對甲、乙兩位同學(xué)的多次成績的統(tǒng)計,甲、乙的成績都均勻分布在[11.5,14.5]之間,現(xiàn)甲、乙比賽一次,求甲、乙成績之差的絕對值小于0.8秒的概率.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知|
a
|=3,|
b
|=6,
a
b
的夾角為θ,
(1)若
a
b
,求
a
b
;
(2)若(
a
-
b
)⊥
a
,求θ.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)G,M分別為不等邊三角形ABC的重心和外心,A(-1,0),B(1,0),且
GM
AB

(1)求點C的軌跡P的方程;
(2)是否存在直線L過點(0,1),并與曲線P交于R,T兩點,且滿足
OR
OT
=0,若存在,求出直線L的方程,若不存在,說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知等差數(shù)列{an}中,已知a1=17,d=-2,則a8=
 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案