Question

4．如圖，棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M為線段A₁B上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（　�。�
①三棱錐M-DCC₁的體積為定值    ②DC₁⊥D₁M
③∠AMD₁的最大值為90°   ④AM+MD₁的最小值為2．

• A． ①②
• B． ①②③
• C． ③④
• D． ②③④

Answer 1

分析 ①由A₁B∥平面DCC₁D₁，可得線段A₁B上的點(diǎn)M到平面DCC₁D₁的距離都為1，又△DCC₁的面積為定值$\frac{1}{2}$，即可得出三棱錐M-DCC₁的體積為定值．
②由A₁D₁⊥DC₁，A₁B⊥DC₁，可得C₁⊥面A₁BCD₁，即可判斷出正誤．
③當(dāng)0＜A₁P＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$ 時(shí)，利用余弦定理即可判斷出∠APD₁為鈍角；
④將面AA₁B與面A₁BCD₁沿A₁B展成平面圖形，線段AD₁即為AP+PD₁的最小值，再利用余弦定理即可判斷出正誤．

解答 解：①∵A₁B∥平面DCC₁D₁，∴線段A₁B上的點(diǎn)M到平面DCC₁D₁的距離都為1，又△DCC₁的面積為定值$\frac{1}{2}$，因此三棱錐M-DCC₁的體積V=$\frac{1}{3}×1×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{6}$為定值，故①正確．
②∵A₁D₁⊥DC₁，A₁B⊥DC₁，∴DC₁⊥面A₁BCD₁，D₁P?面A₁BCD₁，∴DC₁⊥D₁P，故②正確．
③當(dāng)0＜A₁P＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$ 時(shí)，在△AD₁M中，利用余弦定理可得∠APD₁為鈍角，∴故③不正確；
④將面AA₁B與面A₁BCD₁沿A₁B展成平面圖形，線段AD₁即為AP+PD₁的最小值，
在△D₁A₁A中，∠D₁A₁A=135°，利用余弦定理解三角形得AD₁=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}-2×1×1×cos13{5}^{°}}$=$\sqrt{2+\sqrt{2}}$＜2，故④不正確．
因此只有①②正確．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間位置關(guān)系、線面平行于垂直的判斷與性質(zhì)定理、空間角與空間距離，考查了數(shù)形結(jié)合方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．