Question

如圖，平行四邊形ABCD中，BD⊥AB，AB=2，AD=4，將△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD，證明：AB⊥面BDE．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：由已知條件推導出∠ABD=90°，∠EDB=∠CDB=∠ABD=90°，從而得到平面EBD⊥平面ABD，由此能夠證明ED⊥AB，進而結合線面垂直的判定定理得到答案．

解答： 證明：∵BD⊥AB，
∴在Rt△ABD中，BD²=AD²-AB²，
∵AB=2，AD=4，
∴BD=2

3

，
∴△EBD中，BD²=EB²-ED²，
∴△ABD和△EBD為直角三角形，此即ED⊥DB，
而DB又是平面EBD和平面ABD的交線，
∵平面EBD⊥平面ABD，ED?平面EBD，ED?平面ABD，DB=平面EBD∩平面ABD，
∴ED⊥平面ABD，
又∵AB?平面ABD，
∴AB⊥DE，
又∵BD⊥AB，DE∩BD=D，DE，BD?平面BDE，
∴AB⊥面BDE．

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查直線與平面的判定與性質，面面垂直的性質，熟練掌握線面，線線，面面垂直之間的互相轉化是解答的關鍵．