Question

8．已知橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂在y軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)為A（$\sqrt{2}$，0），且中心O到直線AF¹的距離為焦距的$\frac{1}{4}$，過(guò)點(diǎn)M（2，0）的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)P，Q，點(diǎn)N在線段PQ上
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
（2）設(shè)|PM|•|NQ|=|PN|•|MQ|，求動(dòng)點(diǎn)N的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）由于橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)是A（$\sqrt{2}$，0），故b²=2．根據(jù)題意得，∠AF₁O=$\frac{π}{6}$，sin∠AF₁O=$\frac{a}$，即a=2b，a²=8，從而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
（2）由題意知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=k（x-2），直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立消去y得：（k²+4）x²-4k²x+4k²-8=0，利用韋達(dá)定理，結(jié)合|PM|•|NQ|=|PN|•|MQ|，即可求動(dòng)點(diǎn)N的軌跡方程．

解答 解：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）．
由于橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)是A（$\sqrt{2}$，0），故b²=2．
根據(jù)題意得，∠AF₁O=$\frac{π}{6}$，sin∠AF₁O=$\frac{a}$，
即a=2b，a²=8，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是$\frac{{y}^{2}}{8}+\frac{{x}^{2}}{2}=1$．
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），N（x，y），
由題意知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=k（x-2）．
直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立消去y得：（k²+4）x²-4k²x+4k²-8=0．
由△=16k²-4（k²+4）（4k²-8）＞0，得-2＜k＜2．
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{4+{k}^{2}}$，得x₁xx₂=$\frac{4{k}^{2}-8}{4+{k}^{2}}$．
又|PM|•|NQ|=|PN|•|MQ|，
即（2-x₁）（x₂-x）=（x-x₁）（2-x₂）．
解得x=1，代入直線l的方程得y=-k，y∈（-2，2）．
所以動(dòng)點(diǎn)N的軌跡方程為x=1，y∈（-2，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．