Question

3．已知實(shí)數(shù)x，y，z，滿足x≥y，x≥z，且2x+y+z=2，xyz=2，求x的最小值和|x|-|y|-|z|的最大值．

Answer 1

分析 ①由x≥y，x≥z，且2x+y+z=2，可得2≤2x+x+x，可得x≥$\frac{1}{2}$．由2x+y+z=2，xyz=2，可得y+z=2-2x，yz=$\frac{2}{x}$，因此y，z是一元二次方程t²-（2-2x）t+$\frac{2}{x}$=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，利用△≥0，可得x≥2．即可得出x的最小值．
②由①可知：y+z=2-2x，yz=$\frac{2}{x}$，x≥2，y與z同號(hào)且y，z＜0，可得|x|-|y|-|z|=-x+2，即可得出．

解答 解：①∵x≥y，x≥z，且2x+y+z=2，
∴2≤2x+x+x，可得x≥$\frac{1}{2}$．
∵2x+y+z=2，xyz=2，
∴y+z=2-2x，yz=$\frac{2}{x}$，
∴y，z是一元二次方程t²-（2-2x）t+$\frac{2}{x}$=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴△=（2-2x）²-$\frac{8}{x}$≥0，
化為（x-2）（x²+1）≥0，
解得x≥2．
當(dāng)x=2時(shí)，y=z=-1．
∴x的最小值為2．
②由①可知：y+z=2-2x，yz=$\frac{2}{x}$，x≥2，
y與z同號(hào)且y，z＜0，
∴|x|-|y|-|z|=x+（y+z）=x+（2-2x）=-x+2≤0，
∴|x|-|y|-|z|的最大值為0．此時(shí)x=2，y=z=-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了不等式的性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．