Question

函數f（x）是定義在R上的奇函數，f（3）=0，且x＜0時，xf′（x）＜f（x），則不等式f（x）≥0的解集是

 

．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質

專題：函數的性質及應用,導數的概念及應用

分析：本題可構造函數g(x)=

f(x)

x

（x≠0），利用f′（x）相關不等式得到函數g（x）的單調性，由函數f（x）是的奇偶性得到函數g（x）的奇偶性和圖象的對稱性，由f（3）=0得到函數g（x）的圖象過定點，再將不等式f（x）≥0轉化為關于g（x）的不等式，根據g（x）的圖象解不等式，得到本題結論．

解答： 解：記g(x)=

f(x)

x

（x≠0），
則g′(x)=

xf′(x)-f(x)

x2

．
∵當x＜0時，xf′（x）＜f（x），
∴當x＜0時，g′（x）＜0，
∴函數g（x）在（-∞，0）上單調遞減．
∵函數f（x）是定義在R上的奇函數，
∴g(-x)=

f(-x)

-x

=

-f(x)

-x

=

f(x)

x

=g(x)，
∴函數g（x）是定義在R上的偶函數，
∴函數g（x）的圖象關于y軸對稱，
∴函數g（x）在（0，+∞）上單調遞增．
∵f（3）=0，
∴g（3）=

f(3)

3

=0，
∴函數g（x）的圖象過點（3，0）和（-3，0）．
∵不等式f（x）≥0，
∴xg（x）≥0，
∴

x＞0 g(x)＞0

或

x＜0 g(x)＜0

，或f（x）=0
∴-3≤x≤0或x≥3．
∴不等式f（x）≥0的解集是{x|-3≤x≤0或x≥3}．
故答案為：{x|-3≤x≤0或x≥3}．

點評：本題考查了函數的奇偶性、對稱性、導數和單調性，本題難度不大，屬于基礎題．