Question

18．若函數(shù)y₁=x₁lnx₁，函數(shù)y₂=x₂-3，則（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²的最小值為2．

Answer 1

分析 利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線及其平行線之間的斜率關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式即可得出．

解答 解：令f（x）=xlnx，g（x）=x-3，
f′（x）=lnx+1，令lnx₀+1=1，解得x₀=1．
∴可得y=x與曲線f（x）=xlnx相切于點(diǎn)P（1，0），與g（x）=x-3平行，
∴點(diǎn)P到直線g（x）=x-3的距離d的平方即為所求，
d=$\frac{|1-0-3|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²的最小值為2．
故答案為：2．

點(diǎn)評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線及其平行線之間的斜率關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．