Question

18．設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，已知2a_n-2=S_n，n∈N^*
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)遞推公式即可求出{a_n}的通項(xiàng)公式，
（Ⅱ）利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵S₁=a₁．
∴當(dāng)n=1時(shí)，2a₁-2=S₁=a₁，
∴a₁=2，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=s_n-s_n-1=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1
∴{a_n}的首項(xiàng)為a₁=2，公比q=2的等比數(shù)列，
∴a_n=2ⁿ，n∈N^*，
（Ⅱ）設(shè)T_n=1•a₁+2•a₂+3•a₃+…+n•a_n，
∴T_n=1•2¹+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
∴2T_n=1•2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2¹+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹=-2+（1-n）2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2，n∈N^*．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、遞推式的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．