Question

函數f（x）對任意a，b∈R都有f（a+b）=f（a）+f（b）-1，當x＞0時，f（x）＞1．
（1）求證：f（x）在R上是增函數．
（2）若f（4）=5，解不等式f（3m-4）＜3．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用,函數單調性的判斷與證明

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：（1）設x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，依題意，易證f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）-1＞0，從而可證得f（x）在R上是增函數；
（2）依題意，f（3m-4）＜3?f（3m-4）＜f（2），利用f（x）在R上是增函數即可求得m的取值范圍．

解答： （1）證明：設x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，
∵f（a+b）=f（a）+f（b）-1，
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁+x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁）+f（x₁）-1-f（x₁）=f（x₂-x₁）-1，
∵x₂-x₁＞0，由x＞0時，f（x）＞1，
∴f（x₂-x₁）＞1，
∴f（x₂-x₁）-1＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）是R上的增函數．
（2）解：∵f（a+b）=f（a）+f（b）-1，f（4）=5，
∴f（4）=f（2）+f（2）-1=5，
∴f（2）=3，
∵f（3m-4）＜3，
∴f（3m-4）＜f（2），
∵f（x）是R上的增函數，
∴3m-4＜2，
解得：m＜2．
∴當f（4）=5時，不等式f（3m-4）＜3的解集為：（-∞，2）．

點評：本題考查抽象函數及其應用，著重考查函數單調性的判斷與證明，考查轉化思想與推理證明能力，屬于中檔題．