Question

如圖，將邊長為2，有一個銳角為60°的菱形ABCD，沿著較短的對角線BD對折，使得AC=

6

，O為BD的中點．
（Ⅰ）求證：AO⊥平面BCD
（Ⅱ）求三棱錐A-BCD的體積；
（Ⅲ）求二面角A-BC-D的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間角

分析：（Ⅰ）由已知條件推導出AO⊥OC，AO⊥BD，由此能證明AO⊥平面BCD．
（Ⅱ）三棱錐A-BCD的體積V_A-BCD=

1

3

S△BCD×AO．
（Ⅲ）過O作OE⊥BC于E，連AE，則AE⊥BC，所以∠AEO是二面角A-BC-D的平面角，由此能求出二面角A-BC-D的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=BD=2，O為BD的中點，
∴AO=

3

=OC，OB=1，
對折后，AC=

6

，∴AC²=AO²+OC²，∴AO⊥OC，又AO⊥BD，
∴AO⊥平面BCD．
（Ⅱ）解：∵△BCD是邊長為2的等邊三角形，
∴S△BCD=

1

2

×2×2×sin60°=

3

，
AO=

22-12

=

3

，又AO⊥平面BCD，
∴三棱錐A-BCD的體積V_A-BCD=

1

3

S△BCD×AO=

1

3

×

3

×

3

=1．
（Ⅲ）解：過O作OE⊥BC于E，連AE，則AE⊥BC，
∴∠AEO是二面角A-BC-D的平面角，
由題意知AO=2OE，AE=

5

OE，
∴cos∠AEO=

OE

AE

=

5

5

，
∴二面角A-BC-D的余弦值為

5

5

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．