Question

9．某校從參加高三模擬考試的學生中隨機抽取60名學生，將其數學成績（均為整數）分成六段[90，100），[100，110），…，[140，150）后得到如下部分頻率分布直方圖．觀察圖形的信息，回答下列問題：
（1）求分數在[120，130）內的頻率，并補全這個頻率分布直方圖；                                    
（2）統(tǒng)計方法中，同一組數據常用該組區(qū)間的中點值作為代表，據此估計本次考試的平均分；
（3）用分層抽樣的方法在分數段為[110，130）的學生中抽取一個容量為6的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任取2個，求至多有1人在分數段[120，130）內的概率．

Answer 1

分析 （1）利用概率和為1，真假求解分數在[120，130）內的頻率，然后補全這個頻率分布直方圖；
（2）利用同一組數據常用該組區(qū)間的中點值作為代表，直接求解本次考試的平均分；
（3）利用分層抽樣，求出，[110，120）分數段的人數，[120，130）分數段的人數．在[110，120）分數段內抽取2人，并分別記為m，n；在[120，130）分數段內抽取4人并分別記為a，b，c，d；列出所有的基本事件，求出事件A至多有1人在分數段[120，130）內包含的基本事件，然后求解概率即可．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）分數在[120，130）內的頻率為：1-（0.1+0.15+0.15+0.25+0.05）=1-0.7=0.3．
$\frac{頻率}{組距}$=$\frac{0.3}{10}$=0.03，補全后的直方圖如下：

（2）平均分為：95×0.1+105×0.15+115×0.15+125×0.3+135×0.25+145×0.05=121．
（3）由題意，[110，120）分數段的人數為：60×0.15=9人，
[120，130）分數段的人數為：60×0.3=18人．
∵用分層抽樣的方法在分數段為[110，130）的學生中抽取一個容量為6的樣本，
∴需在[110，120）分數段內抽取2人，并分別記為m，n；
在[120，130）分數段內抽取4人并分別記為a，b，c，d；
設“從樣本中任取2人，至多有1人在分數段[120，130）內”為事件A，
則基本事件有：（m，n），（m，a），（m，b），（m，c），（m，d），（n，a），（n，b），
（n，c），（n，d），（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）共15種．
事件A包含的基本事件有：（m，n），（m，a），（m，b），（m，c），（m，d），（n，a），
（n，b），（n，c），（n，d）共9種．
∴P（A）=$\frac{9}{15}$=$\frac{3}{5}$

點評 本題考查頻率分布直方圖以及古典概型概率的求法，考查分析問題解決問題的能力．