Question

17．設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=（2-x）|x-a|-a，x∈R．
（1）求證：f（x）不是R上的奇函數(shù)；
（2）若f（x）是R上的單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值；
（3）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，2]上恰有3個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用反證法證明；
（2）化簡(jiǎn)f（x）的解析式，討論兩對(duì)稱軸的大小關(guān)系得出f（x）的單調(diào)性；
（3）討論a的范圍，根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)得出f（x）的單調(diào)性及其端點(diǎn)函數(shù)值的符號(hào)，從而得出a的范圍．

解答 證明：（1）假設(shè)f（x）是R上的奇函數(shù)，
則對(duì)任意的x∈R，都有f（-x）=-f（x） （*）
取x=0，得f（0）=0，即2|a|-a=0，解得a=0，
此時(shí)f（x）=（2-x）|x|，所以f（-1）=3，-f（1）=-1，從而f（-1）≠-f（1），
這與（*）矛盾，所以假設(shè)不成立，
所以f（x）不是R上的奇函數(shù)；
（2）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-（a+2）x+a，x≤a}\\{-{x}^{2}+（a+2）x-3a，x＞a}\end{array}\right.$，
①當(dāng)a＞2時(shí)，對(duì)稱軸x=$\frac{a+2}{2}$＜a，
所以f（x）在（-∞，$\frac{a+2}{2}$）上單調(diào)遞減，在[$\frac{a+2}{2}$，a]上單調(diào)遞增，在[a，+∞）上單調(diào)遞減，不符合題意；
②當(dāng)a＜2時(shí)，對(duì)稱軸x=$\frac{a+2}{2}$＞a，
所以f（x）在（-∞，a]上單調(diào)遞減，在[a，$\frac{a+2}{2}$]上單調(diào)遞增，在[$\frac{a+2}{2}$，+∞）上單調(diào)遞減，不符合題意；
③當(dāng)a=2時(shí)，對(duì)稱軸x=$\frac{a+2}{2}$=a，
所以f（x）在（-∞，2]上單調(diào)遞減，在[2，+∞）上單調(diào)遞減，所以f（x）是R上的單調(diào)減函數(shù)，符合題意．
綜上，a=2．
（3）①當(dāng)a=2時(shí)，由（2）知，f（x）是R上的單調(diào)減函數(shù)，至多1個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；
②當(dāng)a＞2時(shí)，由（2）知，2＜$\frac{a+2}{2}$，所以f（x）在[-2，2]上單調(diào)遞減，
所以f（x）在[-2，2]上至多1個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；
③當(dāng)a＜2時(shí)，由（2）知，2＞$\frac{a+2}{2}$＞a，所以f（x）在（-∞，a]上單調(diào)遞減，在[a，$\frac{a+2}{2}$]上單調(diào)遞增，在[$\frac{a+2}{2}$，2]上單調(diào)遞減．
因?yàn)閒（x）在區(qū)間[-2，2]上恰有3個(gè)零點(diǎn)，
所以a＜-2，且f（-2）=3a+8＞0，f（a）=-a＜0，f（$\frac{a+2}{2}$）=$\frac{12a-（a+2）^{2}}{-4}$＞0，f（2）=-a＜0，
解得0＜a＜4-2$\sqrt{3}$或a＞4+2$\sqrt{3}$，
又a＜2，故0＜a＜4+2$\sqrt{3}$，
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，4-2$\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了奇函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性判斷，函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的討論，屬于中檔題．