Question

20．過點(diǎn)M（2，-1）作斜率為$\frac{1}{2}$的直線與橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）相交于A，B兩個(gè)不同點(diǎn)，若M是AB的中點(diǎn)，則該橢圓的離心率e=（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 利用點(diǎn)差法，結(jié)合M是線段AB的中點(diǎn)，斜率為$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{2^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，即可求出橢圓的離心率．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=4，y₁+y₂=-2，
A，B兩個(gè)不同點(diǎn)代入橢圓方程，可得$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{^{2}}$=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{^{2}}$=1，
作差整理可得$\frac{4（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{a}^{2}}$+$\frac{-2（{y}_{1}-{y}_{2}）}{^{2}}$=0，
∵斜率為$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{2^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴a=2b，
∴c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=$\sqrt{3}$b，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的離心率，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確運(yùn)用點(diǎn)差法是關(guān)鍵，屬于中檔題．