Question

10．三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，BC⊥AC，AC=BC=1，AA₁=2，點(diǎn)D、E分別為AA₁、B₁C₁的中點(diǎn)．
（1）求三棱錐C₁-DBC的體積${V_{{C_1}-DBC}}$
（2）求證：A₁E∥面BC₁D
（3）求證：面BC₁D⊥面BCD．

Answer 1

分析 （1）證明BC⊥面AC₁，利用${V_{{C_1}-DBC}}$=${V_{B-DC{C_1}}}$，求出三棱錐C₁-DBC的體積${V_{{C_1}-DBC}}$
（2）求設(shè)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz，求出平面BC₁D的一個(gè)法向量，證明$\overrightarrow{{A}_{1}E}$•$\overrightarrow{n}$=0，即可證明A₁E∥面BC₁D；
（3）求出平面BCD的一個(gè)法向量，證明$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=0，即可證明面BC₁D⊥面BCD．

解答 （1）解：∵AA₁⊥面ABC，∴AA₁⊥BC，
又BC⊥AC，且AA₁∩AC=A，∴BC⊥面AC₁
∴BC是三棱錐B-DCC₁的高．
${V_{{C_1}-DBC}}$=${V_{B-DC{C_1}}}$=$\frac{1}{3}•（\frac{1}{2}•C{C_1}•AC）•BC$=$\frac{1}{3}$；（4分）
（2）證明：設(shè)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz
所以A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，0），
A₁（1，0，2），B₁（0，1，2），C₁（0，0，2）．
因此E（0，$\frac{1}{2}$，0），D（1，0，1）
所以$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=$（-1，\frac{1}{2}，0）$
設(shè)平面BC₁D的一個(gè)法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
得：$\left\{\begin{array}{l}x-y+z=0\\-y+2z=0\end{array}\right.$∴$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2\\ z=1\end{array}\right.$
∴$\overrightarrow{n}$=（1，2，1）此時(shí)$\overrightarrow{{A}_{1}E}$•$\overrightarrow{n}$=-1+1=0．
∴A₁E⊥$\overrightarrow{n}$，
∴A₁E∥面BC₁D（8分）
（3）證明：設(shè)平面BCD的一個(gè)法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
得：$\left\{\begin{array}{l}x+z=0\\ y=0\end{array}\right.$∴$\overrightarrow{m}$=（1，0，-1）
此時(shí)$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=（1，0，-1）•（1，2，1）=0
∴$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，
∴面BC₁D⊥面BCD（12分）

點(diǎn)評 本題考查幾何體體積的計(jì)算，考查線面平行，平面與平面垂直的證明，考查向量法的運(yùn)用，屬于中檔題．