Question

5．已知函數(shù)$f（x）=sin（{ωx-\frac{π}{6}}）[{\sqrt{3}cos（{ωx-\frac{π}{6}}）-sin（{ωx-\frac{π}{6}}）}]+\frac{1}{2}（{ω＞0}），y$=f（x）的圖象與直線y=1的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離為π．
（I）求ω的值；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）的圖象先向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位，再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的二倍，得到g（x）的圖象，試求函數(shù)y=g（x）（x∈[0，π]）的最大值，最小值．

Answer 1

分析 （I）首先，借助于兩角和與差的正弦、余弦公式化簡(jiǎn)，然后，借助于周期公式，即可確定ω的值．
（Ⅱ）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換可得g（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$），由x∈[0，π]得x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，利用正弦函數(shù)的圖象即可解得函數(shù)y=g（x）在x∈[0，π]上的最大值及最小值．

解答 解：（I）∵$f（x）=sin（{ωx-\frac{π}{6}}）[{\sqrt{3}cos（{ωx-\frac{π}{6}}）-sin（{ωx-\frac{π}{6}}）}]+\frac{1}{2}（{ω＞0}）$
=2sin（ωx-$\frac{π}{6}$）cos（ωx-$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$
=2sin（ωx-$\frac{π}{6}$）cosωx+$\frac{1}{2}$
=（$\sqrt{3}$sinωx-cosωx）cosωx+$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1+cos2ωx}{2}$+$\frac{1}{2}$
=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$），
∵f（x）的圖象與直線y=1的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離為π．
∴$\frac{2π}{2ω}$=π，解得：ω=1．
（Ⅱ）由（I）可得：f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
函數(shù)f（x）的圖象先向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位，可得函數(shù)解析式為：y=sin[2（x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]=sin（2x+$\frac{π}{6}$），
再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的二倍，得到函數(shù)g（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$），
∵x∈[0，π]，
∴x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴g（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，故函數(shù)y=g（x）（x∈[0，π]）的最大值為1，最小值為-$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題．