Question

14．已知圓C的極坐標(biāo)方程是ρ=4sinθ以極點為平面直角坐標(biāo)系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系．
（1）求圓C的直角坐標(biāo)方程和圓心和圓心C的極坐標(biāo)；
（2）若斜率為2，且過點P（0，a）的直線l與圓C相交于A，B兩點，且|PA|•|PB|=3，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）將極坐標(biāo)方程兩邊同乘ρ，得到直角坐標(biāo)方程；
（2）求出直線l的參數(shù)方程，代入圓的普通方程，根據(jù)參數(shù)得幾何意義和根與系數(shù)的關(guān)系列出方程解出a．

解答 解：（1）∵ρ=4sinθ，∴ρ²=4ρsinθ，即x²+y²-4y=0．
∴圓C的直角坐標(biāo)方程為x²+（y-2）²=4．圓心C（0，2）．
∴圓心C的極坐標(biāo)為（2，$\frac{π}{2}$）．
（2）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{t}{\sqrt{5}}}\\{y=a+\frac{2t}{\sqrt{5}}}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
將直線l的參數(shù)方程代入x²+（y-2）²=4得t²+$\frac{4a-8}{\sqrt{5}}t+{a}^{2}-4a=0$．
∴|PA|•|PB|=|t₁t₂|=|a²-4a|=3．
解得a=1或3或2$±\sqrt{7}$．

點評 本題考查了極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，參數(shù)方程的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．