【題目】已知f(x)=xlnx,g(x)=x3+ax2﹣x+2
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求函數(shù)f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值;
(3)對(duì)一切的x,2f(x)≤g′(x)+2恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】
(1)解:f′(x)=lnx+1令f′(x)<0解得0<x< ,

∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,

令f′(x)>0解得x> ,

∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為( ,+∞)


(2)解:當(dāng)0<t<t+2< 時(shí),t無解

當(dāng)0<t≤ <t+2,即0<t≤ 時(shí),

∴f(x)min=f( )=﹣ ;

當(dāng) <t<t+2,即t> 時(shí),f(x)在[t,t+2]上單調(diào)遞增,

∴f(x)min=f(t)=tlnt

∴f(x)min=


(3)解:由題意:2xlnx≤3x2+2ax﹣1+2即2xlnx≤3x2+2ax+1

∵x∈(0,+∞)

∴a≥lnx﹣ x﹣

設(shè)h(x)=lnx﹣ x﹣ ,

則h′(x)= + =﹣ ,

令h′(x)=0,得x=1,x=﹣ (舍)

當(dāng)0<x<1時(shí),h′(x)>0;當(dāng)x>1時(shí),h′(x)<0

∴當(dāng)x=1時(shí),h(x)取得最大值,h(x)max=﹣2

∴a≥﹣2

故實(shí)數(shù)a的取值范圍[﹣2,+∞)


【解析】(1)求出f′(x),令f′(x)小于0求出x的范圍即為函數(shù)的減區(qū)間,令f′(x)大于0求出x的范圍即為函數(shù)的增區(qū)間;(2)當(dāng)0<t<t+2< 時(shí)t無解,當(dāng)0<t≤ <t+2即0<t≤ 時(shí),根據(jù)函數(shù)的增減性得到f(x)的最小值為f( ),當(dāng) <t<t+2即t> 時(shí),函數(shù)為增函數(shù),得到f(x)的最小值為f(t);(3)求出g′(x),把f(x)和g′(x)代入2f(x)≤g′(x)+2中,根據(jù)x大于0解出a≥lnx﹣ x﹣ ,然后令h(x)=lnx﹣ x﹣ ,求出h(x)的最大值,a大于等于h(x)的最大值,方法是先求出h′(x)=0時(shí)x的值,利用函數(shù)的定義域和x的值分區(qū)間討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,根據(jù)函數(shù)的增減性即可得到函數(shù)的最大值,即可求出a的取值范圍.
【考點(diǎn)精析】利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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單價(jià)x/

8

8.2

8.4

8.6

8.8

9

銷量y/

90

84

83

80

75

68

(1)求線性回歸方程=x+,其中=-20 =- .

(2)預(yù)計(jì)在今后的銷售中,銷量與單價(jià)仍然服從(1)中的關(guān)系且該產(chǎn)品的成本是4/,為使工廠獲得最大利潤(rùn),該產(chǎn)品的單價(jià)應(yīng)定為多少元?(利潤(rùn)=銷售收入-成本)

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(Ⅲ)設(shè)函數(shù)g(x)= (e為自然對(duì)數(shù)底數(shù)),若在[1,e]上至少存在一點(diǎn)x0 , 使得f(x0)>g(x0)成立,求實(shí)數(shù)p的取值范圍.

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