Question

20．函數(shù)y=Atan（ωx+φ）（ω＞0）的圖象與x軸相交的兩相鄰點坐標（-$\frac{π}{2}$，0），（$\frac{π}{6}$，0），且過點（0，-3），求此函數(shù)的解析式．

Answer 1

分析 根據(jù)f（x）的周期為T=$\frac{π}{ω}$=$\frac{π}{6}$-（-$\frac{π}{2}$），求出ω，再由f（x）的圖象過點（0，3），（$\frac{π}{6}$，0）求出A與φ的值即可．

解答 解：根據(jù)題意，f（x）的周期為
T=$\frac{π}{ω}$=$\frac{π}{6}$-（-$\frac{π}{2}$）=$\frac{2π}{3}$，
解得ω=$\frac{3}{2}$，
∴f（x）=Atan（$\frac{3}{2}$x+φ）；
又它的圖象過點（0，3），
∴Atan（$\frac{3}{2}$×0+φ）=-3，即tanφ=-$\frac{3}{A}$；
又Atan（$\frac{3}{2}$×$\frac{π}{6}$+φ）=0，即$\frac{π}{4}$+φ=kπ，k∈Z，
解得φ=kπ-$\frac{π}{4}$，k∈Z；
于是解得A=3，
∴f（x）=3tan（$\frac{3}{2}$x-$\frac{π}{4}$）．

點評 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應用問題，也考查了三角函數(shù)解析式的求法問題，是基礎題目．