Question

15．已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=log_n+1（n+2）（n∈N^*），記J_n=a₁•a₂•a₃…a_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)積，定義能使J_n為整數(shù)的正整數(shù)n為劣數(shù)，則在區(qū)間（1，2016）內(nèi)所有的劣數(shù)和為2026．

Answer 1

分析 本題是數(shù)列與對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，首先利用換底公式將通項(xiàng)進(jìn)行變形有${a}_{n}=lo{g}_{n+1}（n+2）=\frac{lo{g}_{2}（n+2）}{lo{g}_{2}（n+1）}$，此時(shí)${J}_{n}=\frac{lo{g}_{2}3}{lo{g}_{2}2}×\frac{lo{g}_{2}4}{lo{g}_{2}3}$×…×$\frac{lo{g}_{2}（n+1）}{lo{g}_{2}n}×\frac{lo{g}_{2}（n+2）}{lo{g}_{2}（n+1）}$=$\frac{lo{g}_{2}（n+2）}{lo{g}_{2}2}=lo{g}_{2}（n+2）$，J_n為整數(shù)，則需要n+2=2^t，其中t為大于1的自然數(shù)，此時(shí)可以構(gòu)造J_n的劣數(shù)數(shù)列{b_m}，其中$_{m}={2}^{m+1}-2，m∈{N}^{*}$，此時(shí)可有兩種方法解決題中所問(wèn)，一種是求出所有項(xiàng)再求和；另一種是利用數(shù)列部分知識(shí)求出前m項(xiàng)和公式再求解，無(wú)論用哪種方法均需要．先求出滿足題意的最大項(xiàng)．

解答 解：利用換底公式有${a}_{n}=\frac{lo{g}_{2}（n+2）}{lo{g}_{2}（n+1）}$，則${J}_{n}=\frac{lo{g}_{2}3}{lo{g}_{2}2}×\frac{lo{g}_{2}4}{lo{g}_{2}3}$×…×$\frac{lo{g}_{2}（n+2）}{lo{g}_{2}（n+1）}=lo{g}_{2}（n+2）$，
若J_n為正整數(shù)，需要n+2=2^t且t為大于1的自然數(shù)，
構(gòu)造J_n的劣數(shù)數(shù)列{b_m}，通項(xiàng)公式為$_{m}={2}^{m+1}-2，m∈{N}^{*}$，
依題意有0＜b_m＜2016，解得1≤m≤9且m∈N^*，通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)它是由一個(gè)等比數(shù)列和常數(shù)列構(gòu)成的，
所以${S}_{m}=\frac{4×（1-{2}^{m}）}{1-2}-2m$，∴S₉=2026；
故：答案應(yīng)為2026．

點(diǎn)評(píng) 本題考察重點(diǎn)有兩部分，一是對(duì)數(shù)性質(zhì)中的換底公式；二是數(shù)列部分的內(nèi)容，將所求問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，變?yōu)閿?shù)列的求和問(wèn)題，進(jìn)而利用數(shù)列部分的知識(shí)解決問(wèn)題．