Question

10．如圖，在三棱錐A-BCD中，平面ABD和底面BCD垂直，點F是棱CD上的動點，E，O分別是AD，BD的中點，已知AB=AD=$\sqrt{2}$，BD=2CD，∠BAD=∠BDC=90°．
（1）證明：不論點F在棱CD上如何移動，總有OE⊥AF；
（2）求四面體F-DEO的體積的最大值．

Answer 1

分析 （1）證明AB⊥平面ACD，可得AB⊥AF，利用EO∥AB，即可證明不論點F在棱CD上如何移動，總有OE⊥AF；
（2）F在C處時，四面體F-DEO的體積最大，求出CD，即可求四面體F-DEO的體積的最大值．

解答 （1）證明：∵平面ABD和底面BCD垂直，平面ABD∩底面BCD=BD，CD⊥BD，
∴CD⊥平面ABD，
∵AB?平面ABD，
∴CD⊥AB，
∵∠BAD=90°，
∴AB⊥AD，∵AD∩CD=D，
∴AB⊥平面ACD，
∵AF?平面ACD，
∴AB⊥AF，
∵E，O分別是AD，BD的中點，
∴EO∥AB，
∴⊥AF；
（2）解：F在C處時，四面體F-DEO的體積最大．
∵AB=AD=$\sqrt{2}$，BD=2CD，∠BAD=∠BDC=90°．
∴CD=1，
∴四面體F-DEO的體積的最大值為$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×1$=$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查體積的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．