Question

4．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，設(shè)a_n是S_n與2的等差中項(xiàng)，數(shù)列{b_n}中，b₁=1，點(diǎn)P（b_n，b_n+1）在直線y=x+2上．
（Ⅰ）求a_n，b_n；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為B_n，比較$\frac{1}{2{B}_{1}}$+$\frac{2}{3{B}_{2}}$+…+$\frac{n}{（n+1）{B}_{n}}$與1的大�。�

Answer 1

分析 （I）由于a_n是S_n與2的等差中項(xiàng)，可得2a_n=S_n+2，利用當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1即可得出a_n與a_n-1的關(guān)系，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．由于點(diǎn)P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上，可得b_n-b_n+1+2=0即：b_n+1-b_n=2，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（II）利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得B_n，再利用“放縮法”和“裂項(xiàng)求和”即可證明

解答 解：（Ⅰ）∵a_n是S_n與2的等差中項(xiàng)，∴2a_n=S_n+2 …①
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2；
n≥2時(shí)，2a_n-1=S_n-1+2   …②；
∴由①-②得：a_n=2a_n-1
∴{a_n}是一個以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，
∴an=2ⁿ．
又∵點(diǎn)P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上，
∴b_n-b_n+1+2=0即：b_n+1-b_n=2，
又b₁=1，∴{b_n}是一個以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，
∴b_n=2n-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：B_n=$\frac{n（2n-1+1）}{2}={n}^{2}$．
∴$\frac{n}{（n+1）{n}^{2}}=\frac{1}{（n+1）n}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴$\frac{1}{2{B}_{1}}$+$\frac{2}{3{B}_{2}}$+…+$\frac{n}{（n+1）{B}_{n}}$=$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$＜1．

點(diǎn)評 本題考查了“當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1”求a_n、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式利用了“裂項(xiàng)求和”，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．