Question

13．設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊為a，b，c，若A，B，C依次成等差數(shù)列且a²+c²=kb²，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（1，2]．

Answer 1

分析 利用角A、B、C成等差數(shù)列B=$\frac{π}{3}$，利用a²+c²=kb²，可得k=$\frac{2}{3}$sin（2A-$\frac{π}{6}$）+$\frac{4}{3}$，即可利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求得實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答 解：∵A+B+C=π，且角A、B、C成等差數(shù)列，
∴B=π-（A+C）=π-2B，解之得B=$\frac{π}{3}$，
∵a²+c²=kb²，
∴sin²A+sin²C=ksin²B=$\frac{3k}{4}$，
∴k=$\frac{4}{3}$[sin²A+sin²（$\frac{2π}{3}$-A）]=$\frac{4}{3}$[$\frac{5}{4}$sin²A+$\frac{3}{4}$cos²A+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinAcosA）]=$\frac{2}{3}$sin（2A-$\frac{π}{6}$）+$\frac{4}{3}$，
∵0＜A＜$\frac{2π}{3}$，
∴-$\frac{π}{6}$＜2A-$\frac{π}{6}$＜$\frac{7π}{6}$，
∴-$\frac{1}{2}$＜sin（2A-$\frac{π}{6}$）≤1，
∴1＜$\frac{2}{3}$sin（2A-$\frac{π}{6}$）+$\frac{4}{3}$≤2，
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是（1，2]．
故答案為：（1，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查正弦定理，考查輔助角公式的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．