Question

20．如圖，AE是圓O的切線，A是切點，AD與OE垂直，垂足是D，割線EC交圓O于B，C，且∠ODC=α，∠DBC=β，則∠OEC=β-α（用α，β表示）．

Answer 1

分析 連接OA，OB，由已知條件得，△ADE∽△OAE，△BED∽△OEC，從而得O，C，B，D四點共圓，由此能求出結果．

解答 解：如圖所示，
連接OA，OB，∵AE是⊙O切線，∴∠OAE=90°；
∵AD⊥OE，∴∠ADE=90°=∠OAE，
又∵∠AED=∠OEA，
∴△ADE∽△OAE，
∴$\frac{DE}{AE}$=$\frac{AE}{OE}$，
∴AE²=DE•OE；
又AE²=BE•CE，∴DE•OE=BE•CE，
∴$\frac{DE}{BE}$=$\frac{CE}{OE}$；
又∵∠BED=∠OEC，∴△BED∽△OEC，
∴∠BDE=∠OCE，∴O，C，B，D四點共圓，
∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCE，∴∠ODC=∠OBC，
∴∠ODC=∠BDE，
∴∠OEC=∠DBC-∠BDE=∠BDC-∠ODC=β-α．
故答案為：β-α．

點評 本題考查了角的求法問題，解題時要認真審題，注意三角形相似、四點共圓與三角形內(nèi)角和定理的合理運用，是綜合性題目．