Question

4．已知a_n=$\left\{\begin{array}{l}{5n+1，n為奇數(shù)}\\{{2}^{\frac{n}{2}}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．
（1）求數(shù)列{a_n}的前10項(xiàng)和S₁₀
（2）求數(shù)列{a_n}的前2k項(xiàng)和S_2k．

Answer 1

分析 由通項(xiàng)公式可知{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)組成等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)組成等比數(shù)列，分別求出{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)之和與偶數(shù)項(xiàng)之和即可得出答案．

解答 解：（1）∵a_2n-1=5（2n-1）+1=10n-4，
∴{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)組成一個(gè)以a₁=6，以d=10為公差的等差數(shù)列，
∴a₁+a₃+a₅+…+a₉=5a₁+$\frac{5×4}{2}d$=130．
∵a_2n=2ⁿ．
{a_n}的偶數(shù)項(xiàng)組成一個(gè)以a₂=2為首項(xiàng)，以q=2為公比的等比數(shù)列，
∴a₂+a₄+a₆+…+a₁₀=$\frac{2（1-{2}^{5}）}{1-2}$=62．
∴S₁₀=（a₁+a₃+a₅+…+a₉）+（a₂+a₄+a₆+…+a₁₀）=192．
（2）a₁+a₃+a₅+…+a_2k-1=ka₁+$\frac{k（k-1）}{2}d$=6k+5k（k-1）=5k²+k．
a₂+a₄+a₆+…+a_2k=$\frac{{a}_{2}（1-{q}^{k}）}{1-q}$=2^k+1-2．
∴S_2k=（a₁+a₃+a₅+…+a_2k-1）+（a₂+a₄+a₆+…+a_2k）=5k²+k+2^k+1-2．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于中檔題．