Question

15．如圖所示，已知PA是⊙O相切，A為切點(diǎn)，PBC為割線，弦CD∥AP，AD、BC相交于E點(diǎn)，F(xiàn)為CE上一點(diǎn)，且DE²=EF•EC．
（Ⅰ）求證：A、P、D、F四點(diǎn)共圓；
（Ⅱ）若AE•ED=12，DE=EB=3，求PA的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知中DE²=EF•EC，我們易證明，△DEF～△CED，進(jìn)而結(jié)合CD∥AP，結(jié)合相似三角形性質(zhì)，得到∠P=∠EDF，由圓內(nèi)接四邊形判定定理得到A、P、D、F四點(diǎn)共圓；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中的結(jié)論，結(jié)合相交弦定理得PE•EF=AE•ED=12，結(jié)合已知條件，可求出PB，PC的長，代入切割線定理，即可求出PA的長．

解答 解：（Ⅰ）證明：∵DE²=EF•EC，
∴$\frac{DE}{CE}$=$\frac{EF}{ED}$，
又∠DEF=∠CED，∴△DEF～△CED，∠EDF=∠ECD，
又∵CD∥PA，∴∠ECD=∠P
故∠P=∠EDF，所以A，P，D，F(xiàn)四點(diǎn)共圓；…5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）及相交弦定理得：PE•EF=AE•ED=12，
又BE•EC=AE•ED=12，
∴EC=4，EF=$\frac{D{E}^{2}}{EC}$=$\frac{9}{4}$，PE=$\frac{16}{3}$，PB=$\frac{7}{3}$，PC=PB+BE+EC=$\frac{28}{3}$，
由切割線定理得PA²=PB•PC=$\frac{7}{3}$×$\frac{28}{3}$=$\frac{196}{9}$，
所以PA=$\frac{14}{3}$為所求…10分

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是與圓有關(guān)的比例線段，圓內(nèi)接四邊形的判定定理，其中（Ⅰ）的關(guān)鍵是證得∠P=∠EDF，（Ⅱ）的關(guān)鍵是求出PB，PC的長，為切割線定理的使用創(chuàng)造條件，屬于中檔題．