Question

8．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)（1，$\frac{\sqrt{6}}{2}$），且離心率等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)P（2，0）作直線PA，PB交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且滿足PA⊥PB，試判斷直線AB是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)求出點(diǎn)坐標(biāo)，若不過定點(diǎn)請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)（1，$\frac{\sqrt{6}}{2}$），且離心率等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$，建立方程，求出a，b，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），把直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，再利用PA⊥PB，得（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=0，即可得出m與k的關(guān)系，再由直線恒過定點(diǎn)的求法，從而得出答案．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)（1，$\frac{\sqrt{6}}{2}$），且離心率等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{\frac{3}{2}}{^{2}}$=1，$\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴a=2，b=$\sqrt{2}$，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（Ⅱ）設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立橢圓方程得（1+2k²）x²+4mkx+2（m²-2）=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$．
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+mk（x₁+x₂）+m²=$\frac{{m}^{2}-4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
由PA⊥PB，得（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=0，代入得4k²+8mkx+3m²=0
∴m=-2k（舍去），m=-$\frac{2}{3}$k，
∴直線AB的方程為y=k（x-$\frac{2}{3}$），所以過定點(diǎn)（$\frac{2}{3}$，0）．

點(diǎn)評 本題綜合考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．