Question

18．某設備啟用后，使用年份x（年）和所需的維修費用y（萬元）有如下幾組統(tǒng)計數(shù)據(jù)：

x	2	3	4	5	6
y	2.2	3.8	5.5	6.5	7.0

（1）請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程；
（2）估計該設備啟用后第10年（即x=10）所需要的維修費用大約是多少？
（參考公式：$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}•{y}_{i}-n\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$）

Answer 1

分析 （1）先做出兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，把平均數(shù)和條件中所給的兩組數(shù)據(jù)代入求解b的公式，做出b的值，再求出a的值，寫出回歸直線的方程．
（2）把x=10代入直線的方程得到y(tǒng)=0.08+1.23×10=12.38，估計使用年限為10年時維修的費用．這是一個預報值，不是正確數(shù)值．

解答 解：（1）$\overline{x}$=$\frac{2+3+4+5+6}{5}$=4，$\overline{y}$=$\frac{2.2+3.8+5.5+6.5+7}{5}$=5，…（2分）
∴$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}•{y}_{i}-n\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{112.3-5×4×5}{90-5×{4}^{2}}$=1.23…（5分）
a=5-1.23×4-0.08…（7分）
∴線性回歸方程為y=0.08+1.23x．…（9分）
（2）把x=10代入回歸方程得到：y=0.08+1.23×10=12.38，
∴估計使用年限為10年時，維修費用為12.38萬元．…（12分）

點評 本題考查線性回歸方程的求解和應用，是一個基礎題，解題的關鍵是正確應用最小二乘法來求線性回歸方程的系數(shù)．