Question

18．設(shè)函數(shù)f（x）=sin（$\frac{1}{2}$x+φ）（0＜φ＜$\frac{π}{2}$），y=f（x）圖象的一條對稱軸是直線x=$\frac{π}{4}$．
（1）求φ
（2）求函數(shù)f（x）圖象的對稱中心．

Answer 1

分析 （1）利用x=$\frac{π}{4}$是函數(shù)y=f（x）的圖象的對稱軸，可求得φ=$\frac{3π}{8}$+kπ，又0＜ϕ＜π，從而可得φ的值；
（2）利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)$\frac{1}{2}$x+$\frac{3π}{8}$=kπ，k∈Z，可解得對稱中心．

解答 解：（1）∵x=$\frac{π}{4}$是函數(shù)y=f（x）的圖象的對稱軸，
∴sin（φ+$\frac{1}{2}$×$\frac{π}{4}$）=±1，
∴φ+$\frac{π}{8}$=k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z，
∴φ=kπ+$\frac{3π}{8}$，又0＜ϕ＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{3π}{8}$．
（2）由（1）得函數(shù)f（x）的解析式為y=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{3π}{8}$），
由$\frac{1}{2}$x+$\frac{3π}{8}$=kπ，k∈Z，可解得對稱中心為：（2kπ-$\frac{3π}{4}$，0）

點評 本題考查正弦函數(shù)的圖象和對稱性，求得φ的值是關(guān)鍵，考查了分析、運算、求解能力，屬于中檔題．