Question

5．已知函數(shù)f（x）=ax²+bln（x+1）．
（1）若a=$\frac{1}{2}$，b=-2，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若a=$\frac{1}{2}$，討論f（x）的單調(diào)性；
（3）若a=$\frac{1}{2}$，b=-2，求f（x）在x=0處的切線方程；
（4）若a=$\frac{1}{2}$，討論f（x）與y=3的交點個數(shù)．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=x-2（x+1）=-x-2，x＞0，利用導(dǎo)數(shù)即可判斷．
（2）f′（x）=x+b（x+1）=（1+b）x+b，x＞0．分類討論求解不等式即可．
（3）f′（0）=-2，f（0）=0，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出：切線過（0，0），斜率為-2，再運(yùn)用直線的方程求解即可．
（3）根據(jù)（2）結(jié)論得出利用單調(diào)性，可判斷交點個數(shù)．

解答 解：f（x）=ax²+bln（x+1）．f′（x）=2ax+b（x+1），x＞0．
（1）若a=$\frac{1}{2}$，b=-2，f′（x）=x-2（x+1）=-x-2，x＞0．
∵可判斷f′（x）＜0，在（0，+∞）恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減．
（2）a=$\frac{1}{2}$，f′（x）=x+b（x+1）=（1+b）x+b，x＞0．
∵（1+b）x+b＞0，
當(dāng)b＞-1時，x$＞-\frac{1+b}$，y′＞0，
x$＜-\frac{1+b}$，y′＜0，
當(dāng)b＜-1時，x$＜-\frac{1+b}$，y′＞0，x$＞-\frac{1+b}$，y′＜0，
可判斷：-1＜b＜0時，$-\frac{1+b}$＞0，f（x）在（0，$-\frac{1+b}$）單調(diào)遞減，在（$-\frac{1+b}$，+∞）單調(diào)遞增．
當(dāng)b≥0時，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
當(dāng)b≤-1時，（1+b）x+b＜0在（0，+∞）上恒成立，故b≤-1時，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．
（3）∵a=$\frac{1}{2}$，b=-2，f′（x）=x-2（x+1）=-x-2，f（x）=$\frac{1}{2}$x²-2ln（x+1）．
∴f′（0）=-2，f（0）=0，
切線過（0，0），斜率為-2，
方程為y=-2x．
（4）若a=$\frac{1}{2}$，f′（x）=x+b（x+1）=（1+b）x+b，x＞0．f（x）=$\frac{1}{2}$x²+bln（x+1）．f（0）=0
已知得出；-1＜b＜0時，$-\frac{1+b}$＞0，f（x）子（0，$-\frac{1+b}$）單調(diào)遞減，在（$-\frac{1+b}$，+∞）單調(diào)遞增．
當(dāng)b≥0時，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
當(dāng)b≤-1時，（1+b）x+b＜0在（0，+∞）上恒成立，故b≤-1時，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．
∴-1＜b＜0時，f（x）與y=3的交點有1個．
當(dāng)b≥0時，f（x）與y=3的交點有1個．
當(dāng)b≤-1時，f（x）與y=3的交點有0個．
綜上：b＞-1，f（x）與y=3的交點有1個
當(dāng)b≤-1時，f（x）與y=3的交點有0個．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，一個函數(shù)在其定義域內(nèi)的某個區(qū)間上單調(diào)，說明函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)恒大于等于0或恒小于等于0．分類討論的思想．此題是中檔題