3．設(shè)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、F2，過(guò)F2的一條直線與該橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，已知等邊三角形ABF1的邊長(zhǎng)為4．求該橢圓的方程．

分析 確定AB⊥F1F2，利用等邊三角形ABF1的邊長(zhǎng)為4，求出a，b，c，即可得到橢圓的方程．

解答 解：由題意，AB⊥F1F2，
∵等邊三角形ABF1的邊長(zhǎng)為4，
∴|F1F2|=2c=2$\sqrt{3}$，$\frac{2^{2}}{a}$=4，
∴c=$\sqrt{3}$，a=3，
∴b=$\sqrt{6}$，
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{6}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程，考查橢圓的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

13．已知橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）過(guò)點(diǎn)（0，-2），且離心率為$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$．
（1）求橢圓E的方程；
（2）如圖，ABD是橢圓E的頂點(diǎn)，M是橢圓E上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，直線DM交x軸于點(diǎn)Q，直線AD交BM于點(diǎn)P，設(shè)BM的斜率為k，PQ的斜率為m，求動(dòng)點(diǎn)N（m，k）軌跡方程．

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14．已知點(diǎn)p（c，$\frac{3}{2}$c）在以F（c，0）為右焦點(diǎn)的橢圓Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上，斜率為1的直線m過(guò)點(diǎn)F與橢圓Γ交于A，B兩點(diǎn)，且與直線l：x=4c交于點(diǎn)M．
（Ⅰ） 求橢圓Γ的離心率e；
（Ⅱ） 試判斷直線PA，PM，PB的斜率是否成等差數(shù)列？若成等差數(shù)列，給出證明；若不成等差數(shù)列，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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11．已知f（x）=lnx+（x-a）2
（1）若a＞0，且f（x）存在極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍
（2）在（1）條件下，求證：f（x）的所有極值一和大于ln$\frac{e}{2}$．

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18．已知sinα+cosα=$\frac{1}{5}$，α∈（0，π），求sinα-cosα及tanα的值．

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8．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分圖象如圖所示．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，f（A-$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，且角A為銳角，b+c=2a=2$\sqrt{3}$，求△ABC的面積并判斷△ABC的形狀．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

15．已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an=logn（n+1）（n≥2，n∈N*）．定義：使乘積a1•a2•a3…an為正整數(shù)的k（k∈N+）叫做“幸運(yùn)數(shù)”，則在[1，2015]內(nèi)所有“幸運(yùn)數(shù)”的和為（　　）
A．2035B．2036C．4084D．4085

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

16．已知向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$的夾角為θ，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=1，則θ的取值范圍是（　�。�
A．$\frac{π}{6}≤θ≤\frac{π}{2}$B．$\frac{π}{3}≤θ≤\frac{π}{2}$C．$0≤θ≤\frac{π}{3}$D．$0＜θ＜\frac{2π}{3}$

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17．?dāng)?shù)列{cn}為等比數(shù)列，其中c1=2，c8=4，f（x）=x（x-c1）（x-c2）…（x-c8），f′（x）為函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，則f′（0）=（　�。�
A．0B．26C．29D．212

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