Question

15．已知x、y滿足條件$\left\{\begin{array}{l}{x-y≥0}\\{x+y≤2}\\{y≥0}\end{array}\right.$，z=ax+y的最大值為4，求a的值．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，對a分類討論求得最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標代入目標函數(shù)，由目標函數(shù)的最大值為4求得a的值．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x-y≥0}\\{x+y≤2}\\{y≥0}\end{array}\right.$作出可行域如圖，

聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{x+y=2}\end{array}\right.$，解得B（1，1）．
化目標函數(shù)z=ax+y為y=-ax+z，
若0≤a＜1，則當直線y=-ax+z過B（1，1）時，z有最大值為a+1=4，解得a=3（舍）；
若a＞1，則當直線y=-ax+z過A（2，0）時，z有最大值為2a=4，即a=2；
若-1≤a＜0，則當直線y=-ax+z過B（1，1）時，z有最大值為a+1=4，解得a=3（舍）；
若a＜-1，則當直線y=-ax+z過O（0，0）時，z有最大值為0≠4（舍）．
綜上，a的值是2．

點評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結合及分類討論的數(shù)學思想方法，是中檔題．