Question

1．已知函數(shù)f（x）=x²-2alnx（a∈R且a≠0）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)y=f（x）的極值；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）a=1時(shí)，f（x）=x²-2lnx，得f′（x），求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；
（2）先求出f′（x），再分別討論a的范圍，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)在[1，2]上的最小值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．
當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x²-2lnx．…（2分）
令f′（x）=$\frac{2（x+1）（x-1）}{x}$=0，解得x=±1．…（4分）
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0，
所以函數(shù)f（x）在x=1處取得極小值，極小值為f（1）=1．…（6分）
（2）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
且f′（x）=$\frac{2{（x}^{2}-a）}{x}$．…（7分）
①若a＜0，則有f′（x）＞0，
所以函數(shù)f（x）在定義域?yàn)椋?，+∞）內(nèi)為增函數(shù)，
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上為增函數(shù)，
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值為f（1）=1．…（9分）
②若a＞0，由于f′（x）=$\frac{2（x+\sqrt{a}）（x-\sqrt{a}）}{x}$，
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，$\sqrt{a}$）上為減函數(shù)，在區(qū)間（$\sqrt{a}$，+∞）上為增函數(shù)．…（10分）
（i）若$\sqrt{a}$≤1，即0＜a≤1時(shí)，[1，2]?（$\sqrt{a}$，+∞），
函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上為增函數(shù)，
所以函數(shù)f（x）在[1，2]的最小值為f（1）=1．…（11分）
（ii）若1＜$\sqrt{a}$≤2，即1＜a≤4時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，$\sqrt{a}$）為減函數(shù)，在（$\sqrt{a}$，2）上為增函數(shù)，
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值為f（$\sqrt{a}$）=a-alna．…（12分）
（iii）若$\sqrt{a}$＞2，即a＞4時(shí)，[1，2]?（0，$\sqrt{a}$），
函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上為減函數(shù)，
所以函數(shù)f（x）在[1，2]的最小值為f（2）=4-2aln2．…（13分）
綜上所述，當(dāng)a≤1且a≠0時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值為f（1）=1；
當(dāng)1＜a≤4時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]的最小值為f（$\sqrt{a}$）=a-alna；
當(dāng)a＞4時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值為f（2）=4-2aln2．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，滲透了分類討論思想，是一道綜合題．