Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD的邊長為1，E在CD延長線上，且DE=CD．動點P從點A出發(fā)沿正方形ABCD的邊按逆進(jìn)針方向運動一周回到A點，其中 =λ +μ ，則下列命題正確的是 ． （填上所有正確命題的序號）
①當(dāng)點P為AD中點時，λ+μ=1；
②λ+μ的最大值為3；
③若y為給定的正數(shù)，則一存在向量 和實數(shù)x，使 =x +y ．

Answer 1

【答案】①②
【解析】解：由題意，設(shè)正方形的邊長為1，建立坐標(biāo)系如圖，
則B（1，0），E（﹣1，1），
∴ =（1，0）， （﹣1，1），
∴ =λ +μ =（λ﹣μ，μ），
當(dāng)點P為AD中點時，
∴ =（0， ），
∴λ﹣μ=0，μ= ，
故λ+μ=1；故①正確，
當(dāng)P∈AB時，有0≤λ﹣μ≤1，μ=0，
∴0≤λ≤1，0≤λ+μ≤1，
當(dāng)P∈BC時，有λ﹣μ=1，0≤μ≤1，
∴λ=μ+1，∴1≤λ≤2，∴1≤λ+μ≤3，
當(dāng)P∈CD時，有0≤λ﹣μ≤1，μ=1，
∴μ≤λ≤μ+1，即1≤λ≤2，∴2≤λ+μ≤3，
當(dāng)P∈AD時，有λ﹣μ=0，0≤μ≤1，
∴0≤λ≤1，∴0≤λ+μ≤2，
綜上，0≤λ+μ≤3，
故②正確；
若存在向量 和實數(shù)x，使 =x +y ，（y為給定的正數(shù)），
則（x，0）+（ ， ）=（0，1），
即（x+ ， ）=（0，1），
∴x+ =1，與y無關(guān)，
故③錯誤，
所以答案是：①②．

【考點精析】本題主要考查了平面向量的基本定理及其意義的相關(guān)知識點，需要掌握如果、是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對實數(shù)、，使才能正確解答此題．