Question

12．如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為CD，BC的中點，M，N，P分別為AD，CF，CE的中點，現(xiàn)沿AE，AF，EF折疊，使B，C，D三點重合，構(gòu)成一個三棱錐B-AEF．
（1）求證：平面MNP∥平面AEF；
（2）求三棱錐P-MNE的體積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)中位線定理得MP∥AE，PN∥EF，故平面MNP∥平面AEF；
（2）把△PNE看做棱錐的底面，則棱錐的高為MB，代入體積公式計算．

解答 證明：（1）∵M(jìn)，P，分別是AB，BE的中點，∴MP∥AE，
∵AE?平面AEF，MP?平面AEF，
∴MP∥平面AEF，
同理可得：NP∥平面AEF，又∵M(jìn)P?平面MNP，NP?平面MNP，MP∩NP=P，
∴平面MNP∥平面AEF．
（2）∵P，N是BE，BF的中點，∴S_△PNE=$\frac{1}{4}$S_△BEF=$\frac{1}{4}×\frac{1}{2}×1×1$=$\frac{1}{8}$．
∵AB⊥BE，AB⊥BF，BE∩BF=B，BE?平面BEF，BF?平面BEF，∴AB⊥平面BEF，
∴三棱錐P-MNE的體積V=$\frac{1}{3}$S_△PNE•MB=$\frac{1}{3}×\frac{1}{8}×1$=$\frac{1}{24}$．

點評 本題考查了面面平行的判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題．