Question

1．若等差數(shù)列{a_n}滿足a₁²+a₃²=2，則$\frac{{{a}_{3}}^{2}+{{a}_{4}}^{2}}{{{a}_{4}}^{2}+{{a}_{5}}^{2}}$的取值范圍是（　�。�

• A． [1，3]
• B． [$\sqrt{5}$-1，$\sqrt{5}$十1]
• C． [3-2$\sqrt{2}$，3+2$\sqrt{2}$]
• D． [4-2$\sqrt{3}$，4+2$\sqrt{3}$]．

Answer 1

分析 利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出a4yu 公差d的范圍，然后利用基本不等式求解表達(dá)式的范圍．

解答 解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由a₁²+a₃²=2，得
$（{a}_{4}-3d）^{2}+（{a}_{4}-d）^{2}=2$，
化為：$5zbogyqi^{2}-4{a}_{4}d+{{a}_{4}}^{2}-1=0$，
由判別式△≥0，得：16${{a}_{4}}^{2}$-20（${{a}_{4}}^{2}$-1）≥0，
即${{a}_{4}}^{2}≤5$，
同樣可以算出d²≤1．
則$\frac{{{a}_{3}}^{2}+{{a}_{4}}^{2}}{{{a}_{4}}^{2}+{{a}_{5}}^{2}}$=$\frac{{{（a}_{4}-d）}^{2}+{{a}_{4}}^{2}}{{{a}_{4}}^{2}+（{{a}_{4}+d）}^{2}}$=$\frac{{2{a}_{4}}^{2}-{2{a}_{4}d+d}^{2}}{{{2a}_{4}}^{2}+{2{a}_{4}d+d}^{2}}$=1-$\frac{{4{a}_{4}d}^{\;}}{{{2a}_{4}}^{2}+{2{a}_{4}d+d}^{2}}$=1-$\frac{4}{\frac{{2a}_{4}}s1k61gd+\fracrome61k{{a}_{4}}+2}$，
當(dāng)$\frachan7egy{{a}_{4}}為正時(shí)$，1-$\frac{4}{\frac{{2a}_{4}}anl1nur+\fracvi1j63w{{a}_{4}}+2}$≥1-$\frac{4}{2\sqrt{\frac{{2a}_{4}}dhdvjb1×\fracumogtly{{a}_{4}}}+2}$=3-2$\sqrt{2}$．
滿足等號(hào)的條件，$\frac{2{a}_{4}}dq57cph=\fracw1jf0wj{{a}_{4}}$，
$\fractby6p5g{{a}_{4}}為負(fù)時(shí)$，1-$\frac{4}{\frac{{2a}_{4}}xvn0fxz+\fracobe72kc{{a}_{4}}+2}$=1-$\frac{4}{-（-\frac{{2a}_{4}}yv0gdas+\fraciq2ltvo{-{a}_{4}}）+2}$
=1+$\frac{4}{（-\frac{{2a}_{4}}hzbtgy2+\fracobzl7da{-{a}_{4}}）-2}$≤$1+\frac{4}{2\sqrt{（-\frac{{2a}_{4}}x6troa5）×（\frackrkb3xp{-{a}_{4}}）}-2}$=3+2$\sqrt{2}$，
$\frac{{{a}_{3}}^{2}+{{a}_{4}}^{2}}{{{a}_{4}}^{2}+{{a}_{5}}^{2}}$的取值范圍是：[3-2$\sqrt{2}$，3+2$\sqrt{2}$]．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的基本性質(zhì)的應(yīng)用，基本不等式求解表達(dá)式的最值的求法，考查計(jì)算能力．