Question

16．已知x₁，x₂是函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$ax²+2bx+c（a，b，c∈R）的兩個(gè)極值，x₁∈（-2，0），x₂∈（0，2），則2a+b的取值范圍為（　�。�

• A． （-∞，-2）
• B． （-2，4）
• C． （-2，+∞）
• D． （-4，4）

Answer 1

分析 求導(dǎo)函數(shù)，利用f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)分別是x₁，x₂，x₁∈（-2，0），x₂∈（0，2），建立不等式，利用平面區(qū)域，即可求2a+b的取值范圍．

解答 解：由題意，f′（x）=x²+ax+2b．
∵f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)分別是x₁，x₂，x₁∈（-2，0），x₂∈（0，2）
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（-2）=4-2a+2b＞0}\\{f′（0）=2b＜0}\\{f′（2）=4+2a+2b＞0}\end{array}\right.$，
對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖所示：
令z=2a+b，則b=-2a+z，
由圖象得：直線b=-2a+z過（-2，0）時(shí)，z最小，最小值是-4，
在（2，0）處，z=2a+b最大，最大值是4，
∴2a+b的取值范圍是（-4，4）．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查平面區(qū)域的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．