Question

17．直線l與圓錐曲線C相交于A，B兩點，與x軸、y軸分別交于D、E兩點，且滿足$\overrightarrow{EA}$=λ₁$\overrightarrow{AD}$、$\overrightarrow{EB}$=λ₂$\overrightarrow{BD}$．已知直線l：x=my+1（m＞1），橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，求$\frac{1}{{λ}_{1}}$+$\frac{1}{{λ}_{2}}$的取值范圍．

Answer 1

分析 聯(lián)立方程組，利用消元法結(jié)合根與系數(shù)之間的關系，推出λ₁+λ₂=-4，即可得到結(jié)論．

解答 解：聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$：得（m²+2）y²+2my-1=0，
得y₁+y₂=-$\frac{2m}{{m}^{2}+2}$，y₁y₂=-$\frac{1}{{m}^{2}+2}$，
又點D（1，0），E（0，-$\frac{1}{m}$），
由$\overrightarrow{EA}$=λ₁$\overrightarrow{AD}$ 得到y(tǒng)₁+$\frac{1}{m}$=-λ₁y₁，λ₁=-（1+$\frac{1}{m}•\frac{1}{{y}_{1}}$），
同理由$\overrightarrow{EB}$=λ₂$\overrightarrow{BD}$得到y(tǒng)₂+$\frac{1}{m}$=-λ₂y，λ₂=-（1+$\frac{1}{m}•\frac{1}{{y}_{2}}$），
λ₁+λ₂=-（2+$\frac{1}{m}$$•\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{y}_{1}{y}_{2}}$）=-（2+$\frac{1}{m}$•2m）=-4，
即λ₁+λ₂=-4，
$\frac{1}{{λ}_{1}}$+$\frac{1}{{λ}_{2}}$=$-\frac{4}{{λ}_{1}{λ}_{2}}$=$\frac{4}{{{λ}_{1}}^{2}+4{λ}_{1}}$=$\frac{4}{（{λ}_{1}+2）^{2}-4}$，
因為m＞1，
所以點A在橢圓上位于第三象限的部分上運動，由分點的性質(zhì)可知
${λ}_{1}∈（\sqrt{2}-2，0）$，
所以$\frac{1}{{λ}_{1}}$+$\frac{1}{{λ}_{2}}$∈（-∞，-2）．

點評 本題主要考查直線和圓錐曲線的位置關系的應用，利用消元法轉(zhuǎn)化為一元二次方程，根據(jù)根與系數(shù)之間的關系是解決本題的關鍵．