Question

17．已知A、B是圓x²+y²=16上的兩點，且AB=6，若以AB為直徑的圓M恰好經(jīng)過（1，-1），則圓的標準方程是（x-$\frac{\sqrt{14}}{2}$）²+（y-$\frac{\sqrt{14}}{2}$）²=9或（x+$\frac{\sqrt{14}}{2}$）²+（y+$\frac{\sqrt{14}}{2}$）²=9．

Answer 1

分析 根據(jù)題意可推斷出CM=$\frac{1}{2}$AB=3，進而斷定點M在以C為圓心，以3為半徑的圓上，進而求得M的坐標，即可求出圓的標準方程．

解答 解：因為點C（1，-1）在以AB為直徑的圓M上，所以CM=$\frac{1}{2}$AB=3，從而點M在以C為圓心，以3為半徑的圓上．
則可得（x-1）²+（y+1）²=9．
因為A、B是圓O：x²+y²=16上的兩點，且|AB|=6，
若以AB為直徑的圓M，且|OM|=$\sqrt{7}$，圓心M應該在圓x²+y²=7上．
所以M是兩個圓的交點：即（$\frac{\sqrt{14}}{2}$，$\frac{\sqrt{14}}{2}$）或（-$\frac{\sqrt{14}}{2}$，-$\frac{\sqrt{14}}{2}$），
所以圓的標準方程是（x-$\frac{\sqrt{14}}{2}$）²+（y-$\frac{\sqrt{14}}{2}$）²=9或（x+$\frac{\sqrt{14}}{2}$）²+（y+$\frac{\sqrt{14}}{2}$）²=9．
故答案為：（x-$\frac{\sqrt{14}}{2}$）²+（y-$\frac{\sqrt{14}}{2}$）²=9或（x+$\frac{\sqrt{14}}{2}$）²+（y+$\frac{\sqrt{14}}{2}$）²=9．

點評 本題主要考查了圓的標準方程，考查直線與圓的位置關(guān)系．解題的關(guān)鍵是把問題轉(zhuǎn)化為以圓心M問題上．