Question

8．設(shè)x₁，x₂是方程x²+ax+b=0（x∈R）的兩個(gè)根，且滿足x₁²+x₂²=1，求出b=f（a）的最值．

Answer 1

分析 由已知中x₁，x₂是方程x²+ax+b=0（x∈R）的兩個(gè)根，可得：x₁+x₂=-a，x₁•x₂=b，且a²-4b≥0，結(jié)合x(chóng)₁²+x₂²=1，可得：b=f（a）=$\frac{1}{2}$a²-$\frac{1}{2}$，a∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得答案．

解答 解：由x₁，x₂是方程x²+ax+b=0（x∈R）的兩個(gè)根，
∴x₁+x₂=-a，x₁•x₂=b，且a²-4b≥0，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=a²-2b=1，
∴b=f（a）=$\frac{1}{2}$a²-$\frac{1}{2}$，且a²-2≤0，即a∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]
當(dāng)a=0時(shí)，f（a）的最小值為-$\frac{1}{2}$，
當(dāng)a=±$\sqrt{2}$時(shí)，f（a）的最大值為$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是根與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔．