Question

5．隨著旅游觀念的轉(zhuǎn)變和旅游業(yè)的發(fā)展，國民在旅游休閑方面的投入不斷增多，民眾對(duì)旅游的需求也在不斷提高．某村村委會(huì)統(tǒng)計(jì)了2011到2015年五年間每年春節(jié)期間外出旅游的家庭數(shù)，具體統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表所示：

年份（x）	2011	2012	2013	2014	2015
家庭數(shù)（y）	6	10	18	22	26

（1）從這5年中隨機(jī)抽取兩年，求外出旅游的家庭數(shù)至少有1年多于20個(gè)的概率；
（2）利用所給數(shù)據(jù)，求出春節(jié)期間外出旅游的家庭數(shù)與年份之間的回歸直線方程$\widehat y$=bx+a，
并判斷它們之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；
（3）利用（2）中所求出的直線方程估計(jì)該村2018年在春節(jié)期間外出游泳的家庭數(shù)．
參考：用最小二乘法求線性回歸方程系數(shù)公式$\widehat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2-n{{\overline x}^2}}}}，\widehat a=\overline y-\widehat b\overline x$．

Answer 1

分析 （1）使用列舉法求出所有基本事件的個(gè)數(shù)和至少有一年多余20人的事件數(shù)，使用古典概型的概率公式求出概率；
（2）根據(jù)相關(guān)系數(shù)公式求出相關(guān)系數(shù)，得出回歸方程；
（3）將x=2018代入回歸方程計(jì)算．

解答 解：（1）從這5年中任意抽取兩年，所有的事件有：
（2011，2012），（2011，2013），（2011，2014），（2011，2015），（2012，2013），
（2012，2014），（2012，2015），（2013，2014），（2013，2015），（2014，2015）共10種，
至少有1年多于20人的事件有：
（2011，2014），（2011，2015），（2012，2014），（2012，2015），
（2013，2014），（2013，2015），（2014，2015）共7種，
則至少有1年多于10人的概率為P=$\frac{7}{10}$．
（2）由已知數(shù)據(jù)得$\overline{x}$=2013，$\overrightarrow{y}$=16，
$\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）$=-2×（-10）+（-1）×（-6）+1×6+2×10=52，
$\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}$=（-1）²+（-2）²+1²+2²=10，
∴$\stackrel{∧}$=$\frac{52}{10}=5.2$，$\stackrel{∧}{a}$=16-5.2×2013=-10451.6，
∴回歸直線的方程為y=5.2x-10451.6，
∴y與x是正相關(guān)關(guān)系．
（3）當(dāng)x=2018時(shí)，y=5.2×2018-10451.6=42．
∴該村2018年在春節(jié)期間外出游泳的家庭數(shù)約為42．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了古典概型的概率計(jì)算，線性回歸方程的解法及數(shù)值估計(jì)，屬于中檔題．